Задачи на кредит с дифференцированным платежом

Задачи на кредит с дифференцированным платежом

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Рассмотрим первую схему. Пусть х руб. – искомая фиксированная сумма

http://ege.sdamgia.ru/problem?id=512462

Кредит. Аннуитетный и дифференцированный платежи.

Кредит — это финансовая сделка, в результате которой кредитор (как правило, банк) предоставляет деньги заемщику на определенный срок. Естественно, что за пользование этими деньгами заемщик должен будет отдать некоторую сумму сверх той, что он взял в кредит, другими словами, выплатить проценты.

Гражданин взял в банке 1000 рублей под 30% годовых.

Что это значит? Это значит, что через год гражданин должен будет вернуть 1000 рублей плюс 30% от 1000.

Узнаем, сколько рублей гражданин выплатит банку через год:

1000 + 0,3 · 1000 = 1000 + 300 = 1300 (проценты обязательно переводим в дроби: 30% = 0,3).

Обобщим этот случай.

Пусть гражданин взял в кредит S рублей под а% годовых. Сколько денег он отдаст банку через год? Получаем такую запись:

Немного преобразуем ее, вынеся общий множитель S за скобку:

Получилось, что исходная сумма S увеличилась в (

) раз.

Назовем число (

) полезным коэффициентом и обозначим буквой m.

Итак, перед тем, как переходить к решению задач, введем систему обозначений:

S — сумма кредита;

m — полезный коэффициент (

);

х — выплаты по кредиту;

n — количество лет, на которое берут кредит.

Чуть ниже мы разберем два типа задач: на аннуитетный платеж и на дифференцированный.

Аннуитетный платеж подразумевает под собой равные выплаты в течении всего времени погашения кредита, но при этом банк до внесения платежа начисляет процент на оставшуюся часть долга.

Дифференцированный платеж подразумевает уменьшение суммы долга равномерно, на одну и ту же величину; причем выплаты каждый раз разные. Это значит, что если кредит взяли на n лет на сумму S, то ежегодно сумма долга уменьшается на S/n по сравнению с долгом на начало года.

Возьмем две задачи, похожие по структуре, и на них прочувствуем разницу между аннуитетным и дифференцированным платежами.

Задача 1.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 40% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

В условии прописано, что кредит выплачивают равными платежами; очевидно, что это аннуитентный платеж.

m = 1 + 40/100 = 1,4.

Найти: 3х (х — это одна из трех выплат, которыми полностью погашают трехлетний кредит).

Выведем формулу, по которой будет решаться наша задача.

1 год. Мы взяли кредит на сумму S. Эта сумма увеличилась в m раз (полезный коэффициент, читай про него выше) и мы выплатили некоторую сумму х. Остаток долга на конец первого года стал равен

2 год. Остаток долга снова увеличился в m раз и мы произвели выплату, равную х. Теперь на конец второго года остаток долга равен

(Sm — x)m — х = Sm 2 — xm — x.

3 год. Опять остаток увеличился в m раз, мы выплачиваем х рублей и прощаемся с кредитом:

(Sm 2 — xm — x)m — x = Sm 3 — xm 2 — xm — x = 0.

Выразим и найдем х.

Это мы нашли одну выплату, а нам надо 3.

343 000 · 3 = 1 029 000 рублей мы выплатим за 3 года, чтобы погасить кредит полностью.

Ответ: 1 029 000 рублей.

Эта задача, кстати, у меня решена еще и старым дедовским способом (без формул и полезных коэффициентов). Посмотреть ее можно здесь.

Задача 2.

15 января планируется взять кредит на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше (Этот набор слов сразу говорит о том, что задача на дифференцированный платеж. Предупрежден — значит вооружен!) долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

S (некоторая сумма)

m = 1 + 5/100 = 1,05

x1 + x2 + . + x5 — общая сумма денег, потраченная на погашение кредита


Найти: сколько % от S составляет общая сумма денег.

1 месяц. Та сумма, которую мы взяли увеличивается в m раз и происходит первая выплата х1. Получается, что долг становится равен Sm — x1. Прям как при аннуитентном платеже.

НО! Наш долг каждый месяц на одну и ту же сумму меньше долга предыдущего месяца. Это значит, что каждый месяц долг уменьшается на 1/5 часть исходной суммы S. (1/5 потому, что кредит взяли на 5 месяцев, т.е. сумму кредита поделили на 5 равных частей).

Это можно записать как

.

Т.е. получается, что

.

2 месяц. Остаток долга 4S/5 увеличивается в m раз и производится вторая выплата х2. Действуем аналогично первому месяцу.

.

Все то же самое происходит в третьем и четвертом месяце. Если вы заметили какую-нибудь закономерность, то это просто супер! Эти месяцы можно не расписывать. Вообще нас интересуют первый и последний месяцы.

Читайте так же:  Банки для взятия кредита наличными

5 месяц — месяц, в котором мы выплачиваем весь кредит.

Т.к. долги предыдущих месяцев на одну и ту же сумму меньше долгов последующих, то мы с уверенностью можем сказать, что сумма долгов уменьшается в арифметической прогрессии, следовательно, и выплаты х1, . х5 тоже.

Найдем общую сумму денег, потраченную на погашение кредита по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Далее составим пропорцию и найдем, сколько процентов составляет общая сумма денег.

Очень надеюсь, что после разбора данных задач вам легче станет ориентироваться в задачах на кредиты. В принципе, они не очень сложные, если в них как следует разобраться. А успешность решения напрямую зависит от практики. Пробуйте решать задачи самостоятельно и у вас обязательно все получится!

http://xn--80aaasqmjacq0cd6n.xn--p1ai/ru/theory/view/SHkolnyj-kurs/Kredit-Annuitetnyj-i-differentcirovannyj-platezhi/

50 экономических задач

Разобраны 8 типов заданий

→ 1 тип: Нахождение количества лет (месяцев) выплаты кредита. (Аннуитетные платежи) — 3 задачи.
→ 2 тип: Вычисление процентной ставки по кредиту. (Фиксированные платежи) – 3 задачи.
→ 3 тип: Нахождение суммы кредита. (Аннуитетные платежи)- 3 задачи.
→ 4 тип: Нахождение ежегодного (ежемесячного) транша. (Аннуитетные платежи)- 3 задачи.
→ 5 тип: Нахождение разницы. (Аннуитетные платежи) – 3 задачи.
→ 6 тип: Задачи, связанные с известным остатком. (Фиксированные платежи)- 3 задачи.
→ 7 тип: Задачи, связанные с дифференцированными платежами.- 3 задачи.
→ 8 тип: Нестандартные задачи, связанные с кредитом.- 4 задачи.

http://4ege.ru/matematika/56745-50-ekonomicheskih-zadach.html

Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике, кредиты. Схема 1: известна информация о платежах.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами»

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу – задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье – решение задач на кредиты первого типа. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.

1. 1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев
. Покажем, что за 4 месяца Ярослав выплатит кредит. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна.

Проценты, начисленные за первый месяц, равны 0,01 ∙ 900 = 9 тысяч рублей.

Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают 9∙4 = 36 тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты.

Нам повезло с условием задачи – сумма долга равна 900 тысяч рублей, а максимальная выплата 300 тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно?

Решим эту задачу в общем виде.

Пусть – сумма кредита;

– процентная ставка банка.

Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза.

пусть – величина платежа

После первого начисления процентов и первого платежа сумма кредита равна , после второго
.

Например, долг выплачен равными платежами за 5 платежных периодов. Тогда:

Заметим, что в скобках – сумма 5 членов геометрической прогрессии, где .

Поскольку
, эта сумма равна .

В общем случае для n платежных периодов

Из этой формулы находим S, X или n.

Одна из сложностей задачи ЕГЭ №17 на кредиты и вклады – большое количество вычислений. Мы стараемся упростить их, насколько возможно.

2. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Обозначим сумму кредита S, где рублей,

Обратите внимание, что коэффициент k лучше записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной. Иначе при возведении в степень вы получите 9 знаков после запятой.

1) Савелий выплачивает кредит тремя равными платежами X.

Раскрыв скобки, получим:
;

В этом случае Савелий выплатит банку рублей.

2) Савелий выплачивает кредит двумя равными платежами :

Всего Савелий выплатит рублей.

Дальше – просто арифметика. Действия с дробями. Считаем аккуратно! Сначала упрощаем формулы и только после этого подставляем численные данные.

3. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Как упростить вычисления? Например, в этой задаче десятичные дроби удобно перевести в обыкновенные. А тысячи и миллионы записывать как степени числа 10. И не спешите перемножать числа. Возможно, удастся что-нибудь сократить.

X — сумма ежегодной выплаты.

Согласно нашей схеме,
.

Раскроем скобки:
. Выразим X из уравнения.

рублей. Обошлись без «столбиков»!

Еще одна задача о клиенте, который 31 декабря отправился в банк за кредитом. Та же схема!

4. 31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Пусть S — сумма кредита,

рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 4 года,

рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 2 года.

Составим систему уравнений:

Разделим первое уравнение системы на второе. Этот прием часто применяется в таких задачах.

Заметим, что . Отсюда:
;

Никита взял кредит под годовых.

В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно вдвое меньше предыдущего. Решаем по той же схеме.

Читайте так же:  Какую сумму кредита можно взять пенсионеру

4. Герасим взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Как всегда, введем обозначения.

Пусть – третий платеж. Тогда второй платеж равен , а первый .
Аналогично предыдущим задачам,

Решая задачу, ставьте себе дополнительную цель: максимально упростить вычисления.

Ответ: 133100 рублей.

Подведем итоги. Соберем основные принципы решения задач на кредиты первого типа в небольшую таблицу.

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов,
р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент
показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита:
Х – очередная выплата, n – число платежных периодов.

Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим:

http://ege-study.ru/zadacha-17-profilnogo-ege-po-matematike-kredity-sxema-1-izvestna-informaciya-o-platezhax/

Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 17. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до .Еще через месяц будет ,затем — и так до нуля.

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму . После начисления процентов сумма долга увеличилась в раз и стала равна . После первой выплаты сумма долга уменьшилась на и стала равной . Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна . Таким образом, первая выплата

Сумма всех выплат:

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой и

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии,

Получим, что общая сумма выплат , где — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

Здесь — количество платежных периодов.

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

, где — величина переплаты,

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит.

По формуле для переплаты при выплате суммы кредита дифференцированными платежами имеем:

где — искомое число месяцев, а — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата равна , тогда:

Видео (кликните для воспроизведения).

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07
Долг (в процентах от кредита) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Общая сумма выплат

— переплаты, — общая сумма выплат, — сумма кредита.

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

Читайте так же:  Где можно взять кредит отзывы

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

— ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть – сумма кредита, – количество платежных периодов,
– процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для платежных периодов.

– число платежных периодов.

Сумма всех выплат:

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

http://ege-study.ru/zadacha-17-profilnogo-ege-po-matematike-kredity-sxema-2-izvestna-informaciya-ob-izmenenii-summy-dolga/

Решение экономических задач на кредиты

Работа с заданием №17 ЕГЭ по математике.

Задача с известной суммой кредита и максимальным платежом

Задача с известной суммой кредита и сроком кредита

Задача на кредит, когда общая сумма выплат ограничена конкретным значением

Задача на кредит, когда дана таблица по остаткам долга в каждом периоде

Задача на кредит с двумя схемами выплат: аннуитетные платежи и дифференцированные платежи

Задача на кредит с известным наименьшим платежом

Три задачи на аннуитетные платежи

Две интересные задачи на дифференцированные платежи:в одной сравнивается сумма выплат с суммой кредита, в другой задаче спрашивают остаток долга на определенный момент (с учётом, что в последний месяц необходимо заплатить остаток по кредиту)

http://4ege.ru/video-matematika/58278-reshenie-ekonomicheskih-zadach-na-kredity.html

Методические рекомендации на тему «Решение финансовых задач»

Государственное казенное общеобразовательное учреждение

«Казачий кадетский корпус»

«Решение финансовых задач»

(профильный ЕГЭ, № 17)

Автор: Берсункаев Д. Д.,

1. Критерии проверки и оценка решений задания № 17 ЕГЭ–2018 ………. ……. 4

2. Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж …………….……. ………. 5

3. Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж ………. ……….. 6

4. Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей……………. ………….. 8

5. Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины ……..…. 9

6. Основные ошибки при решении задания № 17 ЕГЭ 2018 …………………….… 10

Использованные источники ……………………………………………….…. 14

ЕГЭ по математике направлен на контроль сформированности математических компетенций, предусмотренных требованиями Федерального компонента государственного стандарта общего образования, и с 2015 г. проводится на двух уровнях: базовом и профильном. Варианты КИМ составлялись на основе спецификации и кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2018 г. ЕГЭ по математике.

Общее число участников основного периода ЕГЭ по математике профильного уровня в 2018 г. – более 391 тыс. человек, что сопоставимо с аналогичным показателем 2017 г. Характер распределения первичного балла за два года заметным образом не изменился, что позволяет говорить о сопоставимости результатов ЕГЭ 2017 и 2018 гг.

Среди заданий с полным решением наибольшее количество полных баллов, как и в 2017 г., получено по заданиям 13 и 15: решение тригонометрических уравнений и логарифмических неравенств. Выросла доля получивших полный балл за стереометрическое задание, что связано с некоторым ростом геометрической подготовки наиболее сильных участников, мотивированных на высокий результат.

Одной из причин снижения доли участников, набравших полный балл за задание 17 (экономическая задача), стало использование при подготовке к экзамену типовых заданий вместо систематического изучения курса и грамотного итогового повторения. Многие участники не прочитали полностью и внимательно условие задачи и допустили существенные ошибки, следуя «типовому алгоритму».

Более 60% участников профильного экзамена набрали от 6 до 11 первичных баллов (27–61 т.б.). Это означает, что из первых 12 заданий базового и повышенного уровней с кратким ответом они выполнили не более 11 заданий. С заданиями 14–19 в этой группе справились менее 1,5% участников.

Существенно лучше результаты участников экзамена из группы с хорошей подготовкой (12–19 п.б. / 62–80 т.б.). Они выполняют задания 1–6, 9, 11 с результатом, близким к максимальному, задания 7, 8, 10, 12, 13 в диапазоне 75–90%; треть из этой группы справились с решением логарифмического неравенства (задание 15); четверть – со стереометрической задачей (задание 14). С наиболее сложными заданиями 16–19 эти участники справились в диапазоне 1,6–7%, при этом самым сложным оказалось задание 18 (система с параметром), а более простым – планиметрическая задача.

Максимально возможные результаты группы высокобалльников очевидны. Как и в других группах, заметно небольшое снижение результатов по заданиям 7 и 8. Видимые различия начинаются с задания 14, с которым справились 81% участников этой группы, с заданием 15 – 87%, с заданием 16 – 53%, с заданием 17 – 49%, с заданием 18 – 31% и с заданием 19 – 26%.

1. Критерии проверки и оценка решений задания № 17 ЕГЭ–2018

Задание №17 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Обоснованно получен верный ответ

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:

— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;

— верный ответ, но решение недостаточно обосновано

Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Несколько подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи.

Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или недостаточно полные обоснования.

Отметим, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, по нашему мнению, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного ответа. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (арифметической, алгебраической, геометрической, функциональной) модели.

Читайте так же:  Банки кредиты без справок для пенсионеров

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

2. Задачи про банковский кредит: аннуитетный платеж

Аннуитетный платеж – это такая система выплат, при которой кредит выплачивается раз в год (месяц) равными платежами.

При этом каждый год (месяц) до внесения платежа банк начисляет на оставшуюся часть долга некоторый процент, то есть оставшаяся сумма долга увеличивается на это количество процентов.

В случае с аннуитетным платежом имеет место следующая формула:

где A – сумма, взятая в кредит, r % – процентная ставка в банке, x – сумма платежа, n – количество лет (месяцев), на которое взят кредит.

Например, если Вы взяли кредит в банке на сумму 500 тыс. рублей сроком на 3 года под 14% процентов годовых, то справедливо следующая формула:

Задача 1. Банк предлагает кредит на 3 года на покупку машины стоимостью 546000 рублей на следующих условиях: – раз в год банк начисляет на остаток долга 20%; – после начисления процентов клиент обязан внести некоторую сумму в счет погашения части долга; – выплачивать кредит необходимо равными ежегодными платежами. Сколько рублей составит переплата по такому кредиту?

3. Задачи про банковский кредит: дифференцированный платеж

Дифференцированный платеж – это такая система выплат, при которой сама сумма долга уменьшается равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый год (месяц). При этом платежи каждый год разные .

Таким образом, если кредит взят на n лет, то это значит, что сумму кредита A разделили на n равных частей и что каждый год после платежа сумма долга уменьшается на

A по сравнению с долгом на начало года.

Задача 2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Пусть A тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.

Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это

часть от A; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.

4. Задачи про банковский кредит: другие схемы платежей

Задача 3. В январе банк предоставляет кредиты на сумму A рублей на 6 лет на следующих условиях: – в ноябре каждого года, начиная с первого (когда был взят кредит) сумма долга возрастает на некоторое целое число y процентов; – в декабре каждого года, начиная с первого, клиент должен внести платеж в счет погашения части текущего долга; – платежи подбираются так, чтобы в январе каждого года сумма долга менялась соответственно таблице:

Какой наибольший процент годовых, выраженный целым числом, должен выставить банк, чтобы переплата клиента не превысила половину от суммы взятого кредита?

5. Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины

Задача 4. На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся t 2 часов в неделю, то они производят t товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся t 2 часов в неделю, то они производят 2t товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн. рублей.

6. Основные ошибки при решении задания № 17 ЕГЭ 2018

На основной волне ЕГЭ-2018 по математике профильного уровня предлагалась следующая задача:

Задача 5. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на

процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

http://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/reshenie_finansovih_zadach_132253.html

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».

Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».

Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.

Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей ).

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно . Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга .

О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.

Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.

Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

Читайте так же:  Рефинансирование кредита это нужно вам или банку

Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,

Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).

Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),

p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза. В нашей задаче k = 1,03.

Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:

После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).

Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – 20 X).

Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).

Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.

Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.

В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:

В этой задаче мы тоже ее используем.

k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.

Осталось подставить числовые значения.

S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.

Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,

Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.

Первая выплата: kS – (S – X).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – n X).

По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.

Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:

1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения

Общая сумма выплат Z:

Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).

Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:

Подставим данные из условия задачи.

Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!

3.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,

n = 21 – количество месяцев,

Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z – общая сумма выплат.

Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.

Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.

Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).

Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).

Ответ: 384000 рублей.

Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.

Видео (кликните для воспроизведения).

http://ege-study.ru/ru/ege/podgotovka/matematika/razbor-zadachi-17-bankovskaya-ili-ekonomicheskaya-na-ege-po-matematike-2018-goda/

Задачи на кредит с дифференцированным платежом
Оценка 5 проголосовавших: 1

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here